기본 개념 정리

※이 글은 인터넷, 책 등을 보고 제가 이해한대로 정리한 것이기 때문에 조금 틀리거나 주관적일 수 있습니다. 

1. 뉴턴의 운동법칙

제1운동법칙: 관성의 법칙

  - 외부의 힘을 받지 않는 한 물체는 원래의 상태를 유지하려고 한다.

대표적인 관성의 예시

제2운동법칙: 가속도의 법칙

  - 물체의 가속도(a)는 물체에 가해지는 힘의 합(F)에 비례하고 방향은 힘의 방향과 일치한다.

F = m a 

(힘 = 질량 × 가속도)

제3운동법칙: 작용과 반작용의 법칙

  - 물체에 가해지는 힘(작용)에는 언제나 크기가 같고 방향이 반대인 힘(반작용)이 존재한다.

대표적인 작용반작용의 예시

 

2. 단위와 측정

물리량의 측정에서 단위를 잘못 사용한다면 오차는 커진다.

(예를 들어 속도를 노트(0.514 m/s)에서 초속(m/s)으로 바꾸면 대부분의 물리량이 속도의 제곱에 비례하기 때문에 최대 185%의 오차가 날 수 있다.)

 

이를 방지하기 위해 측정단위의 일관성을 확인해야 한다.

측정단위의 일관성을 확일할 때는 측정단위가 올바른가, 그 측정단위를 구성하는 기본단위가 정확한가를 확인해야 한다.

(기본 단위는 질량, 길이, 시간을 의미한다.)

 

간단한 예로 뉴턴의 제2운동법칙의 일관성을 확인해보자.

F = m a                     ->  F = (M)(L/T²)

(힘 = 질량 × 가속도)     -> (힘 = 질량× 길이/시간²)

 

질량의 측정단위는 M, 가속도의 측정단위는 L/T이므로 위 공식은 올바르다. (아래 표 참고)

자주 사용되는 물리량과 측정단위

물리량	기호	측정단위	미터법
선가속도(가속도)	A	L/T²	m/s²
각가속도	A	radian/T²	radian/s²
밀도	ρ(로)	M/L³	kg/m³
힘	F	(M)(L/T²)	N, newton
동점도**	N	L²/T	m²/s
길이	L	L	m, meter
질량	M	M	kg, kilogram
모멘트(회전력)	M	M(L²/T²)	N · m
질량관성모멘트***	I	ML²	kg ·m²
압력	P	M/(L T²)	N/m²
시간	T	T	s, second
선속도(속도)	V	L/T	m/s
각속도	ω	radian/T	radian/s
점도*	μ(뮈)	M/(L T)	N· s/m²

*점도: 유체의 끈끈한 정도를 나타내는 물리량으로 외부의 힘에 저항하는 정도를 말한다.

**동점도: (점도/밀도)로 동점도가 작을수록 유체가 더 잘 흐른다.

**질량관성모멘트: 질량과 관성에 따라 모멘트(회전력)에 저항하는 정도이다.

ex) 가벼운 물체가 도는 걸 멈추는 것보다 무거운 물체가 도는 걸 멈추는 것이 힘들다.

 

※질량을 힘에 저항하는 물리량으로 보면 이해하기 쉽다.

 

3. 좌표계

이 글에서는 오른손 직교좌표계를 사용한다.

축의 양의 방향이 자신을 향할 때 반시계방향 회전이 + 회전이다.

 

4.벡터

벡터는 크기와 방향을 가진 양이다.

(벡터의 시작과 끝이 다르더라도 크기와 방향이 같다면 같은 벡터이다.)

(방향이 반대인 벡터는 - 를 붙어 표현한다.)

 

역학에서는 힘, 속도, 가속도 같은 물리량은 벡터이므로 크기와 방향을 모두 고려하여 계산한다.

반대로 거리, 밀도, 점성 같은 물리량은 스칼라이다.

 

이 글에서 벡터는 빨간색 볼드체으로 표시한다.

 

벡터의 연산

벡터의 덧셈

벡터의 뺄셈

벡터의 뺄셈은 방향을 반대로 만든 뒤 더하는 것과 같다.

 

벡터의 내적

두 벡터의 스칼라곱. cos를 통해 방향을 같게 한뒤 크기만 곱한다.

|a||b|cosΘ (Θ는 중심각)

 

벡터의 외적

법선벡터(평면에서 직각인 벡터)를 구하는데 사용한다.

|a||b|sinΘ (Θ는 중심각)

 

5. 미분과 적분

미분은 한 변수가 다른 변수에 비해 얼마나 빨리 변화하는지를 나타낸다.

보통 순간속도 등의 순간변화율을 구할 때 사용한다.

 

그래프의 접선의 기울기는 순간변화율과 같다

적분은 어떤 변수의 변화량은 매우 작은 단위로 나눈 것들의 총합이다.

그래프의 밑넓이는 그래프를 적분한 값과 같다

왼쪽 그림에서 Δx가 무한히 작아지면 오른쪽 그림과 같아진다.

 

간단하게 정리하면 미분은 순간변화정도, 적분은 잘게 나눈 것의 총합이다.

6.질량, 질량중심, 관성모멘트

질량, 질량중심, 관성모멘트를 통칭하여 질량특성이라고 한다.

물체의 선운동 및 각운동, 힘에 대한 물체의 반응 등 물체의 대부분의 움직임은 질량특성에 대한 함수라고 할 수 있다.

 

6.1 질량

일반적으로 질량은 물체의 고유한 양이다.

역학에서는 더 나아가 질량은 물체의 움직임을 변화시키는 힘에 저항하는 정도라고 한다.

-> 물체의 질량이 클수록 물체의 움직임을 바꾸기가 어렵다.

 

6.2 질량중심

무게중심이라고도 한다. 이 점을 중심으로 질량이 균일하게 분포된다.

역학에서는 물체의 질량중심에 힘을 가해도 회전이 일어나지 않는 점을 일컫는다.

(쉽게 생각해서 시소의 받침과 같은 것이다. 시소의 양쪽 질량이 같다면 시소는 평행하게 있다.)

 

6.3 관성모멘트

물체의 질량관성모멘트는 축을 중심으로 물체가 회전할 때 물체의 질량이 원형으로 분포되는 정도를 측정한 양이다.

(무거운 물체일수록 돌리기도 어렵고 멈추기도 어려운 이유라고 할 수 있겠다)

(질량이 선운동에 대한 저항인것처럼 회전운동(각운동)에 대한 저항이다.)

 

6.4 질량특성 계산

6.4.1 질량

물체를 균일한 밀도로 수많은 입자로 쪼갰을 때 물체의 총 질량은 각 입자의 질량의 총합과 같다.

(이 때 각 입자의 질량은 밀도(d) × 부피(V)이다.)

즉, 물체의 총 질량은 (물체의 밀도) × (물체의 총 부피)이다.

m = ∫ p dV = p ∫dV

질량 = ∫ 밀도 Δ부피 = 밀도 ∫Δ부피

구조가 복잡한 물체는 분해하여 따로 계산한뒤 더한다.

 

6.4.2 질량중심(무게중심)

질량중심은 물체를 유한 개의 작은 부분으로 나눈 뒤, 작게 나눈 부분(원소질량)의 1차모멘트*를 모두 합하고 그 총합을 총 질량으로 나누면 물체의 질량중심의 구할 수 있다.

*1차모멘트는 각 좌표축마다 원점으로부터 질량줌심까지의 거리와 질량을 곱한 것이다.

(1차모멘트란 축으로부터 질량중심까지의 거리에 면적(여기서는 질량)을 곱한것을 말한다.)

 

3차원에서는 축이 3개 이므로 물체의 질량중심의 좌표는 (X, Y, Z)가 된다.

X = Σ x m /Σ m

Y = Σ y m /Σ m

Z = Σ y m /Σ m

((x, y, z)는 각 원소질량의 질량중심이고, m은 각 원소질량의 질량이다.)

 

즉, 각 x, y ,z좌표와 질량을 곱하고 그 합을 총 질량으로 나눈 것이다.

 

ex) 구형인 물체의 한 원소질량의 위치를 (2,4,3), 다른 원소질량의 위치를 (1,7,5)이라고 한다면 아래와 같다.

X = (2 + 1 + ...) / n × m

Y = (1 + 7 + ...) / n × m

Z = (3 + 5 + ...) / n × m

(원소질량의 질량은 m이고 모두 n개의 원소질량이 있다.)

 

잘 못 만들었다

 

세 좌표를 벡터(위치벡터)로 표기하면 아래와 같다.

 

CG = [Σ(cg)(m)]/M

(CG는 물체의 무게중심, cg는 각 원소질량의 무게중심, m은 원소질량의 질량, M은 총 질량)

 

정리하면 각 축에 대해서 원소질량의 질량중심과 질량을 곱한 뒤 총질량으로 나눈 것이 물체의 질량중심이다.

(다 더해서 나누는 이유는 삼각형의 무게중심을 생각하면 편하다. 점의 질량이 1이고 각 좌표를 더해서 총 질량으로 나누면 (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3, (z1+z2+z3)/3이 된다.)

 

6.4.3 질량관성모멘트

2차모멘트는 거리의 제곱 × 질량으로 구한다. 이 때 거리는 질량중심 계산에서 사용한 거리와 다르다.

관성모멘트를 계산할 때는 구하고자하는 좌표축으로부터의 수직거리를 사용한다.

 

한 원소질량의 질량중심이 (x,y,z)라면 거리 r은

rx² = y² + z²

ry² = x² + z²

rz² = x² + y²

가 된다.

 

따라서 각 좌표축의 질량관성모멘트 I는 아래와 같다.

Ix = ∫rx² dm=∫(y² + z²)dm

Iy = ∫ry² dm=∫(x² + z²)dm

Iz = ∫rz² dm=∫(x² + y²)dm

(적분으로 모두 더하는 이유는 질량중심의 이유와 같다.)

 

자주 쓰이는 입체도형의 질량관성모멘트의 공식

(그림의 좌표계와 관계없이 모두 오른손 직교좌표계를 기준으로 한다.)

1.원기둥 Ix = Iy = (1/4)m r² + (1/12)m h², Iz = (1/2)m r²

좌표계가 다르지만 무시하자

2.사각기둥 Ix = (1/12) m (a²+b²), Iy=(1/12) m (b²+l²), Iz=(1/12) m (a²+l²)

가로:a, 세로:b, 높이:l

 

3.구 Ix = Iy = Iz = (2/5)m r²

 

7.뉴턴의 제2운동법칙

7.1 개요

뉴턴의 제2운동법칙은 역학에서 특히 더 중요하다.

F = m a

힘 = 질량 × 가속도

F는 물체에 작용하는 힘의 합, m은 물체의 질량, a는 줄량중심에서의 가속도이다.

양변을 m으로 나누면

F/m = a

힘/질량 = 가속도

위 식으로 미루어보아 질량이 물체의 운동을 방해하는 요소가 된다.

 

뉴턴의 제2운동법칙에서는 힘의 방향과 가속의 방향이 같다고 한다.

ΣF = m a

 

3D에서 벡터는 x, y, z 값을 가지모르 각각의 운동방정식(뉴턴의 제2운동법칙)은 아래와 같다.

ΣFx = m ax

ΣFy = m ay

ΣFz = m az

 

뉴턴의 제2운동법칙을 좀 더 해석하면 아래와 같다.

'물체가 받는 힘의 합은 시간에 따른 물체의 운동량의 변화이다.'

 

즉, 물체에 작용하는 힘은 운동량을 시간으로 미분한 결과다.

(미분 - 한 변수(운동량)가 다른 변수(시간)에 비해 얼마나 빠르게 변화하는가)

7.2 물체의 선형운동

물체의 평행이동(선형운동)은 다음과 같다.

G = m × v

선형운동량 = 질량 × 무게중심 속도

 

위 식을 시간(t)에 대해 미분하면 dG/dt=d(m × v)/dt이 되고

물체의 질량이 일정하다면 dG/dt=m dv/dt이 된다.

dv/dt는 시간에 따른 속도의 변화율이므로 가속도(a)와 같다.

ΣF = dG/dt=m a

 

7.3 물체의 회전운동

물체의 회전운동을 표현하기 위해서는 모든 모멘트의 합과 회전운동량의 변화율 사이의 관계식이 필요하다.

ΣMcg = d/dt(Hcg)

(ΣMcg는 물체의 모멘트의 총합, Hcg는 물체의 각운동량이다.)

(회전운동량의 변화율 = 각운동량을 시간으로 미분한 것)

 

Mcg는 다음과 같이 쓸 수 있다.

Mcg = r × F

(F는 물체에 작용하는 힘, r은 F로부터 물체의 무게중심까지의 거리(F와 직교) ×는 벡터의 외적연산자)

 

물체의 각운동량은 모든 원소질량의 운동량 모멘트를 합친 것과 같다. (각 회전축은 물체의 질량중심을 통과함)

Hcg = Σ ri × mi(ω × ri)

(i는 i번째 원소질량, ω는 각속도)

 

위 식을 어떤 축을 기준으로 한 회전에 대해 쓰면 아래와 같다.

Hcg = ∫ω r² dm = ω ∫r² dm = Iω

(모든 원소질량의 각속가 같으므로 ω를 앞으로 빼고 ∫r² dm = I(관성모멘트)니까)

 

위 수식을 미분하면 ΣMcg과 같아진다.

d/dt(Hcg) = d/dt (Iω) = I dω/dt = Iα = ΣMcg

(α는 각가속도)

 

즉, 각운동량은 관성모멘트 × 각가속도이다. (단, 축은 x,y,z축 중 하나이다.)

위 식은 x,y,z축을 기준으로 한 회전운동에서 밖에 사용할 수 없는데 임의의 회전축에서 일어나는 대부분의 경우에는 적용되지 않는다.

8. 관성텐서

(작성중)

8.1 행렬과 텐서

관성모멘트는 3×3행렬(2차텐서)이므로 관성텐서를 알기 위해서는 먼저 행렬을 알아야 한다.

 

8.2 관성행렬

각운동방정식(ΣMcg = Iα)에서 관성(I)는 벡터값이다.

9. 상대론적 시간

간단한 상대성이론을 적용하여 시간여행 등의 개념을 게임에 추가 할 수 있다.

9.1광속 불변

알베르트 아인슈타인은 시간의 속도(1초)가 일정하다는 통념과는 다르게 빛의 속력이 항상 일정하다고 주장하였다.(광속 불변)

달리는 기차에서 화살을 쏜다면 밖에서의 관찰자의 입장에서는 화살의 속도가 (기차의 속도 + 화살의 속도)로 보인다.

 

하지만 달리는 기차에서 빛을 쏜다면 관찰자의 입장에서도 빛의 속력(c)은 언제나 같다.

9.2 시간 지연 - 특수상대성이론

광속 불변에 따라 어떤 상황에서도 빛의 속력이 동일하려면 속도가 증가하면 시간이 변해야 한다.

빛의 속도로 움직이는 기차와 그 안의 시계를 상상해 보자. 시계 안에는 두 거울이 있어 빛은 반사한다.

일정한 거리를 일정한 시간동안 왕복하기 때문에 이 시계는 일정한 시간을 나타낸다.

기차 안에서 본 빛은 위아래로 두 거울 사이의 거리(H)만큼 왕복한다. 

이때 빛의 속도 c는 2H/Δt가 된다.(속도는 거리/시간)

 

하지만 기차 밖에서 본 빛은 기차의 속도를 고려하여 지그재그로 보이게 된다.

이때의 빛의 속도 c는 2R/Δt가 된다.

 

빛의 속도는 언제나 같기 때문에 아래 식도 만족한다.

c =2H/Δt = 2R/Δt

거리 H와 R이 다른데 어떻게 저게 만족하는가? 이것이 시간 지연이다.

H>R이기 때문에 Δt1(H에서의 시간)<Δt2(R에서의시간)이 되어 기차 안의 시간이 더 느리게 흐르게 된다. 

즉, 1초가 속도에 따라 상대적으로 다르게 된다.

9.3 일반상대성이론

또한 시간지연은 아인슈타인의 일반상대성이론에 따라 강한 중력의 영향으로도 일어난다.

중력에 의한 시간지연은 상대적이지 않다. 블랙홀에 가까이 있는 물체는 누가 봐도 시간이 느리게 움직인다.

하지만 블랙홀 근처에서는 모든 게 느려지기 때문에 시간이 느리다는 걸 자각할 수 없다.

즉, 시간은 상대적이다.

 

9.4 물체는 빛보다 빠르게 이동할 수 없다?

상대성이론에서 속도가 팽창하는 양은 Δt' =  γΔt 이다.

이때 γ는 로렌츠 인자라고 하며 아래와 같다

여기서 물체의 속도(v)가 광속(c)와 같으면 로렌츠인자의 분모가 0이 되기 때문에 물체는 빛보다 빠르게 이동할 수 없다는 결론을 얻을 수 있다.